角柱と円柱の体積・表面積の問題たっぷり
5年生～6年生
web算数問題集
5年生～6年生におすすめ、角柱と円柱の体積や表面積の問題がいっぱいです。
角柱と円柱の超基本っすねー。っていう問題から、体積とか 表面積の ちょっと難しくない？っていう問題までたくさんやってみましょう。
図で見るくわしい解説もあるよ。
5年生～6年生 って書いたけど別に何年生でもOKです。 「角柱・円柱のこと忘れたー！やべー！」って中学生もカモン
このページでできるようになることは、この3つ
『角柱とは、円柱とは』を知ることができる。
角柱や円柱の体積を求めることができるようになる。
角柱や円柱の表面積を求められるようになる。
面積の求め方を忘れた！ そもそもやってない！ って人は↓
いざ、出陣～
角柱と円柱を知ってるかチャレンジ！
下の図の角柱について答えてもらう。(あ)～(え)は何でしょう。
下の図のような円柱についてお答えください。
円柱の底面の半径が2cm、高さが10cmのとき 側面の面積は何cm²ですか。
(3)の 答えと解き方
答え：125.6cm²
底面の半径2cm、高さ10cmの円柱を～ 展開図でドン！
側面は長方形だから ｢たて×横｣ で面積を出すことができる。
たて（高さ）は10cmなので、横の長さが分かれば・・いける！
底面の円周を計算
側面の面積 → たて×横
円柱は、底面の円周と 側面の横の長さがいっしょ。ってことを使って答えを出す！でした
角柱と円柱の表面積
角柱・円柱の表面積の問題をやってみよう！ 角柱・円柱の体積はこのあとやります。これで表面積の求め方もバッチリ～
下の文章は角柱と円柱の表面積の求め方について書かれてる。□に入る数字は何？
三角柱の表面積を求めよう。
解き方
この三角柱の展開図はこんな感じ～
底面の三角形2つと 側面の長方形、それぞれの面積を足せばよい。
三角形の底面の面積を 2倍
側面の長方形の面積
底面積と側面積を足して完了！
側面は、横の長さ（13cm、14cm、15cm）を全部足してから 8をかけてみた
側面を3つに分ける考え方でやってみます
8×13＝104
8×14＝112
8×15＝120
104＋112＋120＝336
こっちより計算が楽じゃない？ 楽だよね、どうだろ、いやきっと楽よね。だよね
底面の半径6cm、高さ7cmの円柱の表面積を求めよう。
解き方
円柱を展開図にします
底面の円が2つと 側面の長方形、それぞれの面積を出しましょ。
底面の円を計算
底面の面積を2倍・・・これを式にしてみる
側面の長方形
長方形の面積は、｢たて×横｣ だよね。
たて7cm、横は底面の円周と同じ なので、これを ｢たて×横｣ に当てはめてみる。
底面積と側面積を足して完了！
円柱から$ \dfrac{1}{4} $を切り取った立体がある。半径と高さがつぎの長さのとき、この立体の表面積はいくつか求めるのだ。
1問目だけでもイイです。解説を見てもっと解く練習をしたければ2～4問目をやる！とかね
- 半径2cm 、高さ4cm
- 半径1cm 、高さ5cm
- 半径5cm 、高さ10cm
- 半径10cm 、高さ20cm
答え見るとするか
- 答え 72.52cm²
- 答え 38.26cm²
- 答え 453.25cm²
- 答え 1813cm²
1問目で解説しま・・？ ！！！
はい、にげる押さない。
では、底面の面積からやっつけます
底面積
円の面積を4で割れば、$ \dfrac{1}{4} $の面積が出る。 で、それを3倍する。
これで ひとつの底面はOK！
底面は2つあるから、さらに2倍するよ～ まとめると～
ちょっと計算してみる
\begin{eqnarray} (2 \times 2 \times 3.14 \div 4 \times 3) \times 2 &=& \\[0.5em] 9.42 \times 2 &=& 18.84 \\ \end{eqnarray}
底面積2つで 18.84cm²
これで2つの底面の面積（底面積）はできた。つぎは側面積！
側面積
下の図は底面を外したので、側面だけ。 切りとり線で切って 開くとどんな形でしょうか。
ただの長方形。
たて4cm、 横は （ 円周の$ \dfrac{3}{4} $ + 2 + 2 ）
長方形の面積は たて×横 だから、
4×（ 円周の$ \dfrac{3}{4} $ + 2 + 2 ）＝
これを当てはめると
ヒント｢ 円周を 4で割って 3倍 ｣
これで側面積もOK！
ちょっと計算してみる
\begin{eqnarray} 4 \times ( 2 \times 2 \times 3.14 \div 4 \times 3+2+2) &=& \\[0.5em] 4 \times ( 9.42+2+2) &=& \\[0.5em] 4 \times 13.42 &=& 53.68 \end{eqnarray}
側面積は 53.68cm²
底面積 + 側面積
18.84 ＋ 53.68 ＝72.52
というわけで、1問目は72.52cm² ！！
できた！
角柱と円柱の体積の問題
つぎは角柱・円柱の体積の問題です！
角柱と円柱の体積の求め方は知ってる？
角柱でもある 直方体や立方体の体積は 前にやっているはず～ おぼえてるかい
角柱と円柱の体積の求め方について、□に入る言葉は何？
角柱と円柱の体積を求める練習問題！すでに底面積が分かってるから かけ算をするだけという超かんたんな問題～
- 底面積が20cm² 、高さが6cmの三角柱の体積を求めよ。
- 底面積が35cm² 、高さが9cmの四角柱の体積を求めよ。
- 底面積が50.24cm² 、高さが10cmの円柱の体積を求めよ。
答え合わせ
- 答え 120cm³20×6＝120
- 答え 315cm³35×9＝315
- 答え 502.4cm³50.24×10＝502.4
角柱や円柱の体積は、｢ 底面積×高さ ｣ で求める～
角柱・円柱の体積を求めよ！まずは超基本の5問
角柱や円柱の体積を求めるのだ。
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
- (5)
レベルアップ！徹底的に角柱・円柱
角柱と円柱のレベルアップ問題をバシバシやってみましょう！ どうやって答えを出すか解説もあるよ～色んな問題があるから楽しんでやってみてね～
円柱を半分に切った立体があります。この立体の体積と表面積を求めよ！ 半径や直径、高さはつぎの長さとする。
- 半径4cm 、高さ8cmの場合
- 半径10cm 、高さ4cmの場合
- 直径6cm 、高さ10cmの場合
答え ＆ 解説
- 体積 200.96cm³表面積 214.72cm²
- 体積 628cm³表面積 519.6cm²
- 体積 141.3cm³表面積 182.46cm²
1問目をやってみる ～ 体積
半径4cm 高さ8cm
体積は 底面積×高さ
底面である 半円の面積は？
円の面積を半分、 2で割るっつーことですね。
底面積 × 高さ＝ 体積
はい、できました！ これをサクッとまとめちゃうと
4×4×3.14÷2 ×8＝200.96
表面積の解説
半径4cm 高さ8cm
展開図カモン！
ぞうさん？ いいえ、ちがいます。
では、｢底面積 ＋ 側面積｣ でいきましょか
まずは底面積の計算！
底面は半円です。半円を2つ合わせたら円ですね。ただの円
底面積
OK～！
つぎは側面積。側面は長方形なので ｢たて×横｣
側面積 カッコの中が横の長さだ↓
底面積＋側面積＝表面積
でした！
底面の直径が20mの円柱から切り取られた立体がある。この立体の高さは7m、底面は中心角が90°のおうぎ形だ。この立体の体積を求めよ。
答え ＆ 解説
答え 549.5m³
10×10×3.14÷4 ×7＝549.5
おうぎ形の底面積 × 高さ ＝549.5
おうぎ形で 中心角が90°ってことは、円の$ \dfrac{1}{4} $です。
だから 半径10mの円の面積を4で割ってます。
高さ5cmの立体があります。底面は中心角が120°、半径6cmのおうぎ形です。この立体の体積を求めよ。
答え ＆ 解説
答え 188.4cm³
6×6×3.14÷3 ×5＝188.4
おうぎ形の底面積 × 高さ ＝188.4
中心角が120°のおうぎ形の面積をださなきゃね
中心角が120°は、円の$ \dfrac{1}{3} $だ。
360÷120＝3 だもんね～
だから 半径6cmの円の面積を3で割ってます。
つぎの角柱の体積と！表面積を！ 求めてほしいのよ。
答え ＆ 解説
体積 216cm³
表面積 264cm²
解き方 ～ 体積
底面積 × 高さ ＝ 体積
まずはこの底面積を求めなきゃ始まらない。赤と黒のしましまでおしゃれにした底面を見よ！
え～、見にくいですね。赤黒で目がチカチカします。
この立体の底面は 2つの直角三角形でできてるから、
直角三角形の面積を足せば この立体の底面積 ってことで、このように計算してみます↓
じゃあ、式を立ててみよう！□をうめてね
解き方 ～ 表面積
底面積 × 2 ＋ 側面積 ＝ 表面積
底面積は体積のときに出したから、側面だけ見てみよう！ ちょっと色を変えます。
で、側面を開くと、おなじみの長方形ですね～
では、
底面積×2 ＋ 側面積 ＝ 表面積 ってことで、こうやって計算してみます↓
上の通りに式を立ててみよう！□をうめてね。 紙に書いてみるのもおすすめ
\begin{eqnarray} (4 \times 3 \div 2 + 12 \times 5 \div 2) \times 2 + 6 \times (3+4+13+12) &=& \\[0.5em] (6 + 30) \times 2 + 6 \times 32 &=& \\[0.5em] 36 \times 2 + 6 \times 32 &=& \\[0.5em] 72 + 192 &=& 264 \end{eqnarray}
三角柱と直方体を組み合わせた立体の体積を求めよ。
答え ＆ 解説
答え 2880cm³
解き方
三角柱と直方体の体積を足してもいいけど、
「 底面積×高さ」でやってみますね。
水色で囲った底面積 × 20 です。
底面は、 直角三角形＋長方形
\begin{eqnarray} (12 \times 9 \div 2 + 6 \times 15) \times 20 &=& \\[0.5em] (54 + 90) \times 20 &=& \\[0.5em] 144 \times 20 &=& 2880 \end{eqnarray}
直方体から三角柱を切り取った立体があります。この立体の体積は何cm³？
答え ＆ 解説
答え 1008cm³
解き方
直方体から 切り取られた三角柱を引きます。 他のやり方でもOKだよ
直方体の体積は？
切り取られた三角柱の体積は？
直方体 － 切り取られ三角柱
\begin{eqnarray} 12 \times 11 \times 9 - 5 \times 12 \div 2 \times 6 &=& \\[0.5em] 1188 - 180 &=& 1008 \end{eqnarray}
円柱の上に円柱をのせた立体があります。この立体の体積と表面積を求めましょう。
答え ＆ 解説
体積 15700cm³
表面積 4396cm²
解き方 ～ 体積
赤い円柱の体積 ＋ 青い円柱の体積 ＝ でやってみよう。
\begin{eqnarray} 10 \times 10 \times 3.14 \times 10 + 20 \times 20 \times 3.14 \times 10 &=& \\[0.5em] 3140 + 12560 &=& 15700 \end{eqnarray}
解き方 ～ 表面積
どこを計算していけば良いか ”はっきり” させて、落ち着いて解いていくのだ・・・
まずは、どこを計算するか はっきりさせる。
- 底面（上）
- 底面（下）
- 赤の側面
- 青の側面
表面はこれで全部！
ややこしそうなのは 底面(上)
青と赤が重なってなんだかむずかしそう・・
しかーーし！ この立体を真上から見ると、
赤と青が重なってるだけで、面積は青の円柱の底面と同じ！
底面2つ＋赤の側面＋青の側面＝
円柱の上に円柱をのせた立体があります。この立体の体積と表面積を求めましょう。
答え ＆ 解説
体積 2826cm³
5×5×3.14×4 ＋ 10×10×3.14×8 ＝ 2826
表面積 1256cm²
10×10×3.14×2 ＋ 4×5×2×3.14 ＋ 8×10×2×3.14＝1256
直方体から円柱をくり抜いた立体の体積は？ くり抜いた円柱の底面は直径6cmです。
答え ＆ 解説
答え 338.7cm³
直方体の体積 － 円柱の体積 ＝
これで答えを出した人が多いと思います！ なので、
「 底面積×高さ 」 こっちでやってみます。
しましまのとこが底面。
底面積は？
底面積×高さ＝体積
式を1行でやってみると
\begin{eqnarray} (12 \times 8 - 3 \times 3 \times 3.14) \times 5 &=& \\[0.5em] (96 - 28.26) \times 5 &=& \\[0.5em] 67.74 \times 5 &=& 338.7 \end{eqnarray}
円柱から四角柱をくり抜いた立体の体積と表面積を求めよ。円柱の底面は半径5cm、高さは20cmです。くり抜いた四角柱の底面は1辺3cmの正方形、高さは円柱と同じです。
答え ＆ 解説
体積 1390cm³
表面積 1007cm²
解き方 ～ 体積
「 底面積×高さ 」 これで体積を求めてみる。
円から正方形を引いたのが底面積～
底面積は？
底面積×高さ＝体積
式を1行でやってみると
\begin{eqnarray} (5 \times 5 \times 3.14 - 3 \times 3) \times 20 &=& \\[0.5em] (78.5 - 9) \times 20 &=& \\[0.5em] 69.5 \times 20 &=& 1390 \end{eqnarray}
解き方 ～ 表面積
この立体の表面積はこんな感じ
底面積は？
円柱の側面積は？
内側の面積は？
全部足せば表面積
式を1行でやってみる
( 底面 )×2 ＋ 円柱側面 ＋ 内側
\begin{eqnarray} (5 \times 5 \times 3.14 - 3 \times 3) \times 2 + 20 \times 5 \times 2 \times 3.14 + 20 \times 3 \times 4 &=& \\[0.5em] 69.5 \times 2 + 20 \times 5 \times 2 \times 3.14 + 20 \times 3 \times 4 &=& \\[0.5em] 139 + 628 + 240 &=& 1007 \end{eqnarray}
下の立体の体積を求めましょう。
答え ＆ 解説
答え 945cm³
底面積×高さ＝体積
底面は、三角形2つと台形を組み合わせた形 ですよね
じゃあ、底面積だしましょう。
奥の三角形 ＋ 手前の三角形 ＋ 台形
底面積×高さ＝体積
この立体の体積を求めてください。お願いします！
答え ＆ 解説
答え 803.25cm³
「底面積×高さ＝体積」でやってみよう。まずは底面積～
小さい半円 ＋ 大きい半円 ＋ 台形
底面積×高さ＝体積
1辺20cmの立方体から三角柱を切り取りました。この立体の体積は何cm³ですか。
答え ＆ 解説
答え 7000cm³
立方体の体積から 三角柱の体積を引いてもいいけど、底面積×高さ＝体積 でやってみる。
底面は 『正方形－三角形』
直方体の容器にねんどで作った円柱を入れた。容器の内のりは1辺20cmの正方形で、深さは40cmだ。次の問題に答えよ。
- 円柱の体積は何cm³ですか。円柱は容器にピッタリ入っている。
- この容器の隙間に水をいっぱいになるまで入れ、そーっと円柱を取り出す。水面の高さは容器の底から何cmでしょう。
- その水を捨てさっきのねんどをもどします。 ねんどの形を容器に沿って四角柱にしました。この時ねんどの高さは何cmでしょう。
答え ＆ 解説
- 12560cm³10×10×3.14×40=12560
- 8.6cm
- 31.4cm
2問目の解説：水の高さ
すきまに水を入れましょ。
ねんどが溶けたり浮いたりしそう？ たしかに・・・でも今回は溶けないし浮かない！っつーことでお願いします。
水の容積は何cm³か。
容積っていうのは【容器に入っている量】のことね。
容器の容積から 円柱の体積を引けば 水の容積よね。
じゃあ さっそく水の容積をだしましょ～。円柱の体積は12560cm³ って1問目で出したから、
20×20×40 － 12560 ＝3440
水の容積は 3440cm³
円柱を取り出すとこんな感じですかね
水の高さを□にすると、
計算やってみる
\begin{eqnarray} 20 \times 20 \times \Box &=& 3440 \\[0.5em] 400\times \Box &=& 3440 \\[0.5em] \Box &=& 3440 \div 400 \\[0.5em] \Box &=& 8.6 \end{eqnarray}
2問目の答えは8.6cm
3問目：形が変わったねんどの高さ
容器に入れたねんどはこんな感じよね
底面積と体積が分かってるから 高さが出せちゃう！ さっきの水の高さと同じだね。
というわけで答えは31.4cm³
ちょっとまった。こんなのもあるよ。
水とねんどで容器ピッタリなんだよね。こんなふうに
水の高さは8.6cmだった。
容器の深さは40cmだから
40－8.6＝31.4
なるほどっす！
円柱から円柱をくり抜いた立体があります。この立体の体積は？
答え ＆ 解説
- 477.28cm³
大きい円柱の体積から 小さい円柱の体積を引く
それぞれの体積は、
『 半径×半径×3.14×高さ 』 で
5×5×3.14×8 － 4×4×3.14×3 ＝
計算やってみる
\begin{eqnarray} 5 \times 5 \times 3.14 \times 8 - 4 \times 4 \times 14 \times 3 &=& \\[0.5em] 628-150.72 &=& 477.28 \\[0.5em] \end{eqnarray}
厚さ1cmの木材でマスを作った。外側のサイズは1辺8cmである。このマスの表面積を求めていただきたい！
答え ＆ 解説
- 552cm²
ポイントは真上から見たとき
縁のところが計算めんどくさ・・
落ち着いて上から見るべし
！！ 縁 と 内側の底を合わせたら、8×8の正方形の面積だ！！ ついでに底を持ち上げてみると分かりやすい。
立方体の表面積と同じ
『8cm×8cm＝64cm²』が6面あるっつーことで、
8×8×6＝384
あとは内側の側面だけ
木材の厚さが1cmだから、内のりのサイズは7cmと6cmよね。
『7cm×6cm＝42cm²』が4面あるっつーことで、
7×6×4＝168
全部足すと、
384＋168＝552
このマスの表面積は 552cm² です！
とりあえずここまで～ 角柱と円柱でした
またちがうページでお会いしましょう！
